Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 590]      

Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату - 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.

Решение

Если бы каждый из рабочих мог купить магнитофон, то у них в сумме было бы не менее 5 · 320 = 1600 рублей.

Прислать комментарий

Обязательно ли среди двадцати пяти "медных" монет (т.е. монет достоинством 1, 2, 3, 5 коп.) найдётся семь монет одинакового достоинства?

Подсказка

Подумайте, сколько будет монет, если каждого из четырех типов монет не более шести?

Решение

Да, обязательно. Если бы монет каждого из четырех типов было не более 6, то всего монет было бы не более 64 = 24, а их 25.

Ответ

 Да. Если бы каждого из четырех типов монет было не более 6, то всего монет было бы не более 6×4 = 24, а их 25.

Прислать комментарий

a) Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели.
b) Докажите, что среди жителей Москвы найдутся десять тысяч, празднующих день рождения в один и тот же день.

Решение

а) Пусть футболисты - это кролики, а дни недели - это клетки. Получаем 7 клеток, в которые надо посадить по крайней мере 11 кроликов, а значит, по принципу Дирихле по крайней мере в одной клетке будут сидеть по крайней мере два кролика.
б) Предположим, что в каждый из 366 дней года родились менее 10000 москвичей. Но отсюда следует, что во всей Москве не больше 366 * 9999 = 3659634 жителей, что, конечно, неверно.

Прислать комментарий

В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

Решение

Всего надо вынуть три шара, тогда у нас шары — это "кролики", а цвета — это "клетки". А так как клеток меньше, чем кроликов, то по принципу Дирихле найдется клетка, в которой сидят хотя бы два кролика. То есть два шара одного цвета. Легко заметить, что, вытащив два шара, мы можем получить шары разных цветов.

Ответ

3 шара.

Прислать комментарий

В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.

Решение

Перед нами миллион ``кроликов''-елок и, увы, всего лишь 600001 клетка с номерами от 0 до 600000. Каждый ``кролик''-елка сажается нами в клетку с номером, равным количеству иголок на этой елке. Так как ``кроликов'' гораздо больше, чем клеток, то в какой-то клетке сидит по крайней мере два ``кролика'' - если бы в каждой сидело не более одного, то всего ``кроликов''-елок было бы не более 600001 штук. Но ведь, если два ``кролика''-елки сидят в одной клетке, то количество иголок у них одинаково.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 590]