Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 786]      

Центр вписанной окружности треугольника ABC симметричен центру описанной окружности относительно стороны AB. Найдите углы треугольника ABC.

Прислать комментарий

Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)

Решение

Пусть A, B, C — точки касания, A₁, B₁ и C₁ — центры данных окружностей, причём точки A, B и C лежат на отрезках B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁ соответственно. Тогда A₁B = A₁C, B₁A = B₁C и C₁A = C₁B. Из этого следует, что A, B и C — точки касания вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁ с его сторонами. Действительно, пусть A₁B = A₁C = x, B₁A = B₁C = y и C₁A = C₁B = z. Тогда, например, x = и для точек касания вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁ со сторонами A₁B₁ и A₁C₁ такое соотношение тоже выполняется. В результате получаем, что радиусы A₁B, B₁C и C₁A данных окружностей касаются описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности составляет ²/₇ высоты, а периметр этого треугольника равен 56. Найдите его стороны.

Решение

Пусть CM – высота данного треугольника ABC,  AC = BC,  O – центр вписанной окружности. Тогда OM – радиус этой окружности, AO – биссектриса угла A. Поэтому  AC : AM = CO : OM = 5 : 2.  Поскольку  AC + AM = 28,  то  AC = 20,  AM = 8,  AB = 16.

Ответ

16, 20, 20.

Прислать комментарий

В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а основание относится к боковой стороне как 4:3. Найдите радиус вписанной окружности.

Подсказка

Найдите отношение, в котором биссектриса угла при основании делит высоту.

Решение

Пусть CM — высота данного треугольника ABC, CM = 20, AC = BC, O — центр вписанной окружности. Тогда OM — радиус этой окружности.

Поскольку AO — биссектриса угла CAB, то = , а т.к. = , то

OM = CM = 8.

Ответ

8.

Прислать комментарий

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.

Подсказка

Выразите катеты через радиус вписанной окружности и воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Решение

Обозначим радиус вписанной окружности через r. Тогда катеты треугольника равны  5 + r  и  12 + r.  По теореме Пифагора  (5 + r)² + (12 + r)² = 17²,  откуда
r = 3.

Ответ

8 и 15.

Прислать комментарий

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 786]